test by ruchi

Exercise 5.2 सांतत्य तथा अवकलनीयता

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए –

Question 1. \( \sin (x^2 + 5) \)
Answer:
माना \( y = \sin (x^2 + 5) \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin (x^2 + 5) \]
\[ = \cos (x^2 + 5) \frac{d}{dx} (x^2 + 5) \]
\[ = \cos (x^2 + 5)(2x + 0) \]
\[ = 2x \cos (x^2 + 5) \]
यह श्रृंखला नियम (Chain Rule) का एक बहुत ही सरल और सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: इस फलन का अवकलन करने के लिए हम श्रृंखला नियम का उपयोग करते हैं। पहले बाहरी फलन \( \sin \) का अवकलन \( \cos \) होता है, और फिर अंदर वाले फलन \( x^2 + 5 \) का अवकलन करके उसे गुणा कर देते हैं।

🎯 Exam Tip: श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करते समय हमेशा बाहरी फलन का पहले अवकलन करें और फिर अंदर वाले फलन के अवकलन से गुणा करना न भूलें।

Question 2. \( \cos (\sin x) \)
Answer:
माना \( y = \cos (\sin x) \)
माना \( \sin x = t \)
\( \therefore y = \cos t \)
\[ \frac{dy}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dt}{dx} = \cos x \]
श्रृंखला नियम से,
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \]
\[ = -\sin t \cdot \cos x \]
\( t \) का मान वापस रखने पर,
\[ = -\sin (\sin x) \cos x \]
इस प्रकार, हम प्रतिस्थापन विधि द्वारा श्रृंखला नियम को आसानी से चरण-दर-चरण लागू कर सकते हैं।
In simple words: यहाँ \( \sin x \) को एक नया चर \( t \) मानकर हल किया गया है। पहले \( \cos t \) का अवकलन किया जाता है और फिर \( t \) (यानी \( \sin x \)) के अवकलन से गुणा कर दिया जाता है।

🎯 Exam Tip: यदि श्रृंखला नियम सीधे लगाने में भ्रम हो, तो \( t \) मानकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने से गणना में गलती होने की संभावना बहुत कम हो जाती है।

Question 3. \( \sin (ax + b) \)
Answer:
माना \( y = \sin (ax + b) \)
माना \( ax + b = t \)
\( \dots y = \sin t \)
\[ \frac{dy}{dt} = \cos t, \quad \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx} (ax + b) = a \]
श्रृंखला नियम से,
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \]
\[ = \cos t \cdot a \]
\[ = a \cos t \]
\( t \) का मान वापस रखने पर,
\[ = a \cos (ax + b) \]
अवकलन की इस प्रक्रिया में अचर पदों का विशेष ध्यान रखना आवश्यक होता है।
In simple words: यहाँ \( ax+b \) को \( t \) मानकर पहले \( \sin t \) का अवकलन \( \cos t \) किया गया, फिर \( ax+b \) का अवकलन करने पर केवल \( a \) प्राप्त हुआ, जिसे अंत में गुणा कर दिया गया।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरण \( ax+b \) का अवकलन करते समय याद रखें कि अचर पद \( b \) का अवकलन शून्य हो जाता है और केवल \( a \) बचता है।

Question 4. \( \sec(\tan(\sqrt{x})) \)
Answer:
माना \( y = \sec(\tan(\sqrt{x})) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sec[\tan(\sqrt{x})] \]
\[ = \sec[\tan(\sqrt{x})] \cdot \tan[\tan(\sqrt{x})] \cdot \frac{d}{dx} \tan\sqrt{x} \]
\[ = \sec[\tan(\sqrt{x})] \tan[\tan(\sqrt{x})] \cdot \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx} x^{1/2} \]
\[ = \sec[\tan(\sqrt{x})] \tan[\tan(\sqrt{x})] \cdot \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \sec[\tan(\sqrt{x})] \tan[\tan(\sqrt{x})] \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
जटिल फलनों के अवकलन में एक से अधिक बार श्रृंखला नियम का व्यवस्थित अनुप्रयोग आवश्यक होता है।
In simple words: यह एक बहु-स्तरीय श्रृंखला नियम का उदाहरण है। पहले \( \sec \) का अवकलन किया गया, फिर अंदर वाले \( \tan \) का, और अंत में \( \sqrt{x} \) का अवकलन करके सभी को आपस में गुणा किया गया।

🎯 Exam Tip: जब फलन के अंदर फलन और उसके भी अंदर फलन हो, तो बाहर से शुरू करते हुए एक-एक करके अंतिम पद तक अवकलन करते जाएं ताकि कोई पद छूट न जाए।

Question 5. \( \frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)} \)
Answer:
माना \( y = \frac{\sin(ax+b)}{\cos(cx+d)} \)
\( x \) के सापेक्ष भागफल नियम (Quotient Rule) से अवकलन करने पर,
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(cx+d) \frac{d}{dx} \sin(ax+b) - \sin(ax+b) \frac{d}{dx} \cos(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} \]
\[ = \frac{\cos(cx+d) \cdot \cos(ax+b) \frac{d}{dx}(ax+b) - \sin(ax+b) \cdot \{-\sin(cx+d)\} \frac{d}{dx}(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} \]
\[ = \frac{\cos(cx+d) \cos(ax+b) \cdot a + \sin(ax+b) \sin(cx+d) \cdot c}{\cos^2(cx+d)} \]
\[ = \frac{a \cos(ax+b) \cos(cx+d) + c \sin(ax+b) \sin(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} \]
पदों को अलग-अलग करके सरल करने पर,
\[ = a \cos(ax+b) \frac{\cos(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} + c \sin(ax+b) \frac{\sin(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} \]
\[ = a \cos(ax+b) \sec(cx+d) + c \sin(ax+b) \tan(cx+d) \sec(cx+d) \]
त्रिकोणमितीय सूत्रों की सहायता से इस व्यंजक को अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है।
In simple words: इस प्रश्न में अंश और हर वाले फलन का अवकलन करने के लिए भागफल नियम का उपयोग किया गया है। अंत में उत्तर को और सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय संबंधों (जैसे \( \sec \) और \( \tan \)) का प्रयोग किया गया है।

🎯 Exam Tip: भागफल नियम \( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} \) में अंश और हर के अवकलन के क्रम का विशेष ध्यान रखें, क्योंकि बीच में ऋण (-) का चिन्ह होता है।

Question 6. \( \cos x^3 \sin^2(x^5) \)
Answer:
माना \( y = \cos x^3 \cdot \sin^2(x^5) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष गुणनफल नियम (Product Rule) से अवकलन करने पर,
\[ \frac{dy}{dx} = \cos x^3 \frac{d}{dx} [\sin^2(x^5)] + \sin^2(x^5) \frac{d}{dx} \cos x^3 \]
\[ = \cos x^3 \cdot 2\sin(x^5) \frac{d}{dx} \sin(x^5) + \sin^2(x^5) (-\sin x^3) \frac{d}{dx} x^3 \]
\[ = \cos x^3 \cdot 2\sin(x^5) \cos(x^5) \frac{d}{dx} (x^5) - \sin^2(x^5) \sin x^3 \cdot (3x^2) \]
\[ = 2 \cos x^3 \sin(x^5) \cos(x^5) (5x^4) - 3x^2 \sin^2(x^5) \sin x^3 \ ]
\[ \frac{dy}{dx} = 10x^4 \cos x^3 \sin(x^5) \cos(x^5) - 3x^2 \sin^2(x^5) \sin x^3 \]
गुणनफल और श्रृंखला नियम का यह संयुक्त उपयोग काफी महत्वपूर्ण है।
In simple words: यहाँ दो अलग-अलग फलनों के गुणनफल का अवकलन करने के लिए पहले गुणनफल नियम लगाया गया, और फिर प्रत्येक भाग में श्रृंखला नियम का उपयोग करके पूर्ण हल प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: गुणनफल नियम लगाते समय दोनों फलनों का अलग-अलग अवकलन करते हुए स्पष्ट रूप से कोष्ठक का उपयोग करें ताकि चिन्हों (+ और -) की गड़बड़ी न हो।

Question 7. \( 2\sqrt{\cot(x^2)} \)
Answer:
माना \( y = 2\sqrt{\cot(x^2)} = 2(\cot x^2)^{1/2} \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\[ \frac{dy}{dx} = 2 \frac{d}{dx} (\cot x^2)^{1/2} \]
\[ = 2 \times \frac{1}{2}(\cot x^2)^{-1/2} \frac{d}{dx} \cot x^2 \]
\[ = (\cot x^2)^{-1/2} (-\csc^2 x^2) \frac{d}{dx} x^2 \]
\[ = (\cot x^2)^{-1/2} (-\csc^2 x^2) \cdot 2x \]
\[ = -\frac{2x \csc^2 x^2}{\sqrt{\cot x^2}} \]
इसे और सरल करने के लिए \( \csc \) और \( \cot \) को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलते हैं:
\[ = \frac{-2x}{\sin^2 x^2 \sqrt{\frac{\cos x^2}{\sin x^2}}} \]
अंश और हर में \( \sqrt{\sin x^2} \) से गुणा करने पर:
\[ = \frac{-2x \sqrt{\sin x^2}}{\sin^2 x^2 \sqrt{\cos x^2}} \]
\[ = \frac{-2x}{\sin x^2 \sqrt{\sin x^2 \cos x^2}} \]
वर्गमूल के अंदर 2 से गुणा और भाग करने पर:
\[ = \frac{-2\sqrt{2}x}{\sin x^2 \sqrt{2 \sin x^2 \cos x^2}} \]
सूत्र \( 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta \) का उपयोग करने पर:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-2\sqrt{2}x}{\sin x^2 \sqrt{\sin 2x^2}} \]
त्रिकोणमितीय रूपांतरणों द्वारा उत्तर को सरलतम रूप में लाना इस प्रश्न का मुख्य उद्देश्य है।
In simple words: अवकलन करने के बाद उत्तर को सरल बनाने के लिए \( \cot \) और \( \csc \) को \( \sin \) व \( \cos \) में बदला गया है, और फिर वर्गमूल के अंदर त्रिकोणमितीय सूत्र लगाकर अंतिम सरलतम रूप प्राप्त किया गया है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में अवकलन के बाद त्रिकोणमितीय सरलीकरण (Simplification) बहुत महत्वपूर्ण है, बोर्ड परीक्षा में अंतिम उत्तर को इसी सरलतम रूप में लाना पूरे अंक दिलाता है।

Question 8. \( \cos (\sqrt{x}) \)
Answer:
माना \( y = \cos \sqrt{x} \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \cos \sqrt{x} \]
\[ = -\sin \sqrt{x} \frac{d}{dx} \sqrt{x} \]
\[ = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx} x^{1/2} \]
\[ = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} \]
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \]
यह फलन श्रृंखला नियम के प्राथमिक उदाहरणों में से एक उत्कृष्ट उदाहरण है।
In simple words: पहले बाहरी फलन \( \cos \) का अवकलन \( -\sin \) किया गया, फिर उसके कोणीय मान \( \sqrt{x} \) का अवकलन करके गुणा कर दिया गया।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि \( \sqrt{x} \) का अवकलन सीधे \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) होता है, इसे याद रखने से परीक्षा में समय की बचत होती है।

Question 9. सिद्ध कीजिए कि फलन \( f(x) = |x - 1|, x \in \mathbb{R}, x = 1 \) पर अवकलित नहीं है।
Answer:
यहाँ दिया गया फलन है:
\[ f(x) = |x - 1|, x \in \mathbb{R} \]
इसे हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
\[ f(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{यदि } x \ge 1 \\ 1 - x, & \text{यदि } x < 1 \end{cases} \]
\( x = 1 \) पर दायाँ अवकलज (Right Hand Derivative - R.H.D. या R.H.L.):
\[ \text{R.H.L.} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{|(1+h)-1| - (1-1)}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} \]
चूँकि \( h > 0 \), इसलिए \( |h| = h \):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1 \]

\( x = 1 \) पर बायाँ अवकलज (Left Hand Derivative - L.H.D. या L.H.L.):
\[ \text{L.H.L.} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{|(1-h)-1| - 0}{-h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{|-h|}{-h} \]
चूँकि \( h > 0 \), इसलिए \( |-h| = h \):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1 \]

चूँकि \( \text{R.H.L.} \neq \text{L.H.L.} \),
अतः फलन \( f(x) = |x - 1|, x = 1 \) पर अवकलनीय नहीं है।
यह दर्शाता है कि निरपेक्ष मान फलन (absolute value function) अपने कोणीय बिंदु (corner point) पर अवकलनीय नहीं होते हैं।
In simple words: किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए उस बिंदु पर बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज दोनों बराबर होने चाहिए। यहाँ \( x=1 \) पर दायाँ अवकलज \( 1 \) और बायाँ अवकलज \( -1 \) प्राप्त होता है, जो कि असमान हैं।

🎯 Exam Tip: मापांक (modulus) वाले फलनों को सिद्ध करते समय हमेशा दाएँ और बाएँ अवकलज की सीमा ज्ञात करें और कोणीय बिंदु पर उनका असमान होना प्रदर्शित करें।

Question 10. सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन \( f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 \) तथा \( x = 2 \) पर अवकलित नहीं है।
Answer:
दिया गया फलन है:
\[ f(x) = [x], \quad 0 < x < 3 \]

(i) \( x = 1 \) पर अवकलनीयता की जाँच:
दायाँ अवकलज (R.H.L.):
\[ \text{R.H.L.} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{[1+h] - [1]}{h} \]
चूँकि \( 0 < h < 1 \), इसलिए \( [1+h] = 1 \) और \( [1] = 1 \):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{1-1}{h} = 0 \]

बायाँ अवकलज (L.H.L.):
\[ \text{L.H.L.} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{[1-h] - [1]}{-h} \]
चूँकि \( 0 < h < 1 \), इसलिए \( [1-h] = 0 \):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{0-1}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{-h} = \infty \text{ (परिभाषित नहीं है)} \]
चूँकि \( \text{R.H.L.} \neq \text{L.H.L.} \), अतः \( x = 1 \) पर फलन अवकलनीय नहीं है।

(ii) \( x = 2 \) पर अवकलनीयता की जाँच:
दायाँ अवकलज (R.H.L.):
\[ \text{R.H.L.} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{[2+h] - [2]}{h} \]
चूँकि \( 0 < h < 1 \), इसलिए \( [2+h] = 2 \) और \( [2] = 2 \):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{2-2}{h} = 0 \]

बायाँ अवकलज (L.H.L.):
\[ \text{L.H.L.} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{[2-h] - [2]}{-h} \]
चूँकि \( 0 < h < 1 \), इसलिए \( [2-h] = 1 \):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{1-2}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{-h} = \infty \text{ (परिभाषित नहीं है)} \]
चूँकि \( \text{R.H.L.} \neq \text{L.H.L.} \), अतः \( x = 2 \) पर फलन अवकलनीय नहीं है।
महत्तम पूर्णांक फलन प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असंतत होने के कारण स्वतः ही अवकलनीय भी नहीं होता है।
In simple words: महत्तम पूर्णांक फलन \( [x] \) पूर्णांक मानों (जैसे \( 1 \) और \( 2 \)) पर टूट जाता है (असंतत होता है), इसलिए इन बिंदुओं पर इसका बायाँ अवकलज परिभाषित नहीं हो पाता और यह अवकलनीय नहीं रहता।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि जो फलन किसी बिंदु पर संतत नहीं होता, वह उस बिंदु पर कभी भी अवकलनीय नहीं हो सकता। महत्तम पूर्णांक फलन इसका एक प्रमुख उदाहरण है।