Maharashtra Board Class 9 Maths Part 2 Geometry Chapter 6 Set 6.3 Circle Solutions

Question 1. Construct ΔΑΒC such that ∠B =100°, BC = 6.4 cm, ∠C = 50° and construct its incircle.
Answer::

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें कोण B 100° और कोण C 50° है, तथा भुजा BC की लंबाई 6.4 सेमी है। चित्र में त्रिभुज के भीतर एक अंतःवृत्त (incircle) बनाया गया है, जिसके केंद्र को I से दर्शाया गया है और भुजा BC पर M बिंदु पर लंब IM खींचा गया है, जो वृत्त की त्रिज्या है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के कोणों के समद्विभाजकों को दर्शाता है, जो बिंदु I पर मिलते हैं, जो अंतःवृत्त का केंद्र है। बिंदु I से भुजा BC पर एक लंब IM खींचा गया है, जिसकी लंबाई अंतःवृत्त की त्रिज्या है। इस त्रिज्या का उपयोग करके त्रिभुज के तीनों भुजाओं को स्पर्श करता हुआ एक वृत्त बनाया गया है।
Steps of construction:
(i) Construct ΔABC of the given measurement.
(ii) Draw the bisectors of ∠B and ∠C. Let these bisectors intersect at point I.
(iii) Draw a perpendicular IM on side BC. Point M is the foot of the perpendicular.
(iv) With I as centre and IM as radius, draw a circle which touches all the three sides of the triangle.
In simple words: To construct an incircle, first draw the triangle with given measurements. Then, find the incentre by drawing angle bisectors of two angles. Finally, draw a perpendicular from the incentre to one side and use its length as the radius to draw the incircle.

🎯 Exam Tip: When constructing an incircle, accuracy in drawing angle bisectors and perpendiculars is crucial for a perfect circle that touches all sides.

Question 2. Construct ΔPQR such that ∠P = 70°, ∠R = 50°, QR = 7.3 cm and construct its circumcircle.
Answer: circumcircle.
Solution:
In ΔPQR,
\( m∠P + m∠Q + m∠R = 180° \) ... [Sum of the measures of the angles of a triangle is 180°]
\( \implies \) \( 70° + m∠Q + 50° = 180° \)
\( \implies \) \( m∠Q = 180° - 70° + m∠Q + 50° = 180° \)
\( \implies \) \( m∠Q = 180° - 70° - 50° \)
\( \implies \) \( m∠Q = 60° \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज PQR का एक अनुमानित (rough) रेखाचित्र दिखाता है, जहाँ कोण P 70°, कोण R 50° और भुजा QR 7.3 सेमी है। कोणों के योग गुण का उपयोग करके कोण Q को 60° दर्शाया गया है। त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाले परिवृत्त (circumcircle) की कल्पना की गई है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज PQR के परिवृत्त (circumcircle) के निर्माण को दर्शाता है। भुजाओं PQ और QR के लंब समद्विभाजक (perpendicular bisectors) खींचे गए हैं, जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु C परिवृत्त का केंद्र है और CR त्रिज्या का उपयोग करके त्रिभुज के तीनों शीर्षों (P, Q, R) से गुजरता हुआ एक वृत्त बनाया गया है।
Steps of construction:
(i) Construct ΔPQR of the given measurement.
(ii) Draw the perpendicular bisectors of side PQ and side QR of the triangle.
(iii) Name the point of intersection of the perpendicular bisectors as point C.
(iv) Join seg CP
(v) With C as centre and CP as radius, draw a circle which passes through the three vertices of the triangle.
In simple words: First, find the missing angle (Q) of the triangle. Then, construct the triangle PQR. To construct the circumcircle, draw perpendicular bisectors of any two sides of the triangle. Their intersection point is the circumcenter, which is the center of the circumcircle. Use this center and the distance to any vertex as radius to draw the circle.

🎯 Exam Tip: Remember that the sum of angles in a triangle is 180°. For circumcircle construction, accurately drawing perpendicular bisectors is key.

Question 3. Construct ΔXYZ such that XY = 6.7 cm, YZ = 5.8 cm, XZ = 6.9 cm. Construct its incircle.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज XYZ का एक अनुमानित (rough) रेखाचित्र है जिसकी भुजाएँ XY = 6.7 सेमी, YZ = 5.8 सेमी और XZ = 6.9 सेमी हैं। चित्र में त्रिभुज के भीतर एक अंतःवृत्त (incircle) दर्शाया गया है, जिसका केंद्र I है, और XZ भुजा पर एक लंब IM है, जो वृत्त की त्रिज्या है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज XYZ के अंतःवृत्त (incircle) के निर्माण को दिखाता है। कोण X और कोण Z के कोण समद्विभाजक खींचे गए हैं, जो बिंदु I पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु I से भुजा XZ पर एक लंब IM खींचा गया है। I को केंद्र और IM को त्रिज्या मानकर एक वृत्त बनाया गया है जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है।
Steps of construction:
(i) Construct ΔXYZ of the given measurement.
(ii) Draw the bisectors of ∠X and ∠Z. Let these bisectors intersect at point I.
(iii) Draw a perpendicular IM on side XZ. Point M is the foot of the perpendicular.
(iv) With I as centre and IM as radius, draw a circle which touches all the three sides of the triangle.
In simple words: First, construct the triangle XYZ using the given side lengths. Then, find the incentre (I) by drawing angle bisectors of two angles. From I, drop a perpendicular to one side (XZ) to find the radius (IM) of the incircle. Finally, draw the incircle with center I and radius IM.

🎯 Exam Tip: When constructing a triangle with all three sides, use a compass for accurate arc intersections. For the incircle, precise angle bisectors are crucial.

Question 4. In ΔLMN, LM = 7.2 cm, ∠M = 105°, MN = 6.4 cm, then draw ΔLMN and construct its circumcircle.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज LMN का एक अनुमानित (rough) रेखाचित्र दिखाता है, जहाँ भुजा LM 7.2 सेमी, कोण M 105° और भुजा MN 6.4 सेमी है। त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाले परिवृत्त (circumcircle) की कल्पना की गई है, जिसका केंद्र C है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज LMN के परिवृत्त (circumcircle) के निर्माण को दर्शाता है। भुजाओं MN और ML के लंब समद्विभाजक खींचे गए हैं, जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु C परिवृत्त का केंद्र है। CM को त्रिज्या मानकर एक वृत्त बनाया गया है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों (L, M, N) से होकर गुजरता है।
Steps of construction:
(i) Construct ΔLMN of the given measurement.
(ii) Draw the perpendicular bisectors of side MN and side ML of the triangle.
(iii) Name the point of intersection of the perpendicular bisectors as point C.
(iv) Join seg CM
(v) With C as centre and CM as radius, draw a circle which passes through the three vertices of the triangle.
In simple words: First, construct the triangle LMN using the given side-angle-side measurements. To draw its circumcircle, find the circumcenter by drawing perpendicular bisectors of two sides (MN and ML). The intersection point (C) is the circumcenter. Use C as the center and the distance to any vertex (CM) as the radius to draw the circumcircle.

🎯 Exam Tip: For constructing triangles with an angle, use a protractor accurately. Perpendicular bisectors are essential for locating the circumcenter; ensure they are drawn precisely.

Question 5. Construct ΔDEF such that DE = EF = 6 cm. ∠F = 45° and construct its circumcircle.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज DEF का एक अनुमानित (rough) रेखाचित्र है, जहाँ भुजा DE 6 सेमी, भुजा EF 6 सेमी और कोण F 45° है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। चित्र में इसके शीर्षों से गुजरने वाले परिवृत्त (circumcircle) की कल्पना की गई है, जिसका केंद्र C है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज DEF के परिवृत्त (circumcircle) के निर्माण को दर्शाता है। भुजाओं DE और EF के लंब समद्विभाजक खींचे गए हैं, जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु C परिवृत्त का केंद्र है। CE को त्रिज्या मानकर एक वृत्त बनाया गया है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों (D, E, F) से होकर गुजरता है।
Steps of construction:
(i) Construct ΔDEF of the given measurement.
(ii) Draw the perpendicular bisectors of side DE and side EF of the triangle.
(iii) Name the point of intersection of perpendicular bisectors as point C.
(iv) Join seg CE
(v) With C as centre and CE as radius, draw a circle which passes through the three vertices of the triangle.
In simple words: First, construct the triangle DEF using the given side lengths and angle. Since DE = EF, it's an isosceles triangle. To construct the circumcircle, draw perpendicular bisectors of any two sides (DE and EF). Their intersection point (C) will be the circumcenter. Use C as the center and the distance to any vertex (CE) as the radius to draw the circumcircle.

🎯 Exam Tip: When constructing an isosceles triangle with a given angle and two equal sides, ensure the angle is placed correctly between the equal sides or opposite one of them as specified. The circumcenter's position depends on the type of triangle (inside for acute, on side for right, outside for obtuse).

Maharashtra Board Class 9 Maths Chapter 6 Circle Practice Set 6.3 Intext Questions and Activities

Question 1. Draw any equilateral triangle. Draw incircle and circumcircle of it. What did you observe while doing this activity? (Textbook pg. no. 85)
(i) While drawing incircle and circumcircle, do the angle bisectors and perpendicular bisectors coincide with each other?
(ii) Do the incentre and circumcenter coincide with each other? If so, what can be the reason of it?
(iii) Measure the radii of incircle and circumcircle and write their ratio.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज XYZ का अनुमानित (rough) रेखाचित्र है, जिसकी प्रत्येक भुजा 6.3 सेमी है। चित्र में त्रिभुज के भीतर एक अंतःवृत्त और इसके शीर्षों से गुजरने वाला एक परिवृत्त दोनों एक ही केंद्र I पर दर्शाए गए हैं। M बिंदु XZ भुजा पर लंब है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज XYZ के लिए अंतःवृत्त और परिवृत्त के निर्माण को दर्शाता है। कोण समद्विभाजक और भुजाओं के लंब समद्विभाजक दोनों एक ही बिंदु I पर मिलते हैं, जो अंतःकेंद्र और परिकेंद्र दोनों है। I को केंद्र और IM को त्रिज्या मानकर अंतःवृत्त खींचा गया है, जबकि I को केंद्र और IZ को त्रिज्या मानकर परिवृत्त खींचा गया है।
Steps of construction:
(i) Construct equilateral ΔXYZ of any measurement.
(ii) Draw the perpendicular bisectors of side XY and side YZ of the triangle.
(iii) Draw the bisectors of ∠X and ∠Z.
(iv) Name the point of intersection of the perpendicular bisectors and angle bisectors as point I.
(v) With I as centre and IM as radius, draw a circle which touches all the three sides of the triangle.
(vi) With I as centre and IZ as radius, draw a circle which passes through the three vertices of the triangle.
[Note: Here, point of intersection of perpendicular bisector and angle bisector is same.]
(i) Yes.
(ii) Yes.
The angle bisectors of the angles and the perpendicular bisectors of the sides of an equilateral triangle are coincedent. Hence, its incentre and circumcentre coincide.
(iii) Radius of circumcircle = 3.6 cm,
Radius of incircle = 1.8 cm
Ratio \( \frac{\text{Radius of circumcircle}}{\text{Radius of incircle}} = \frac{3.6}{1.8} = \frac{2}{1} = 2:1 \)
In simple words: For an equilateral triangle, the angle bisectors and perpendicular bisectors of sides coincide, meaning the incentre and circumcenter are the same point. The circumcircle's radius is typically twice the incircle's radius.

🎯 Exam Tip: An important property of equilateral triangles is that their incentre, circumcenter, centroid, and orthocentre all coincide. This is a common exam question or concept used in advanced problems.