Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 2 Parallel Lines and Transversals Set 2.2 Solutions

Question 1. Choose the correct alternative.
(i) In the given figure, if line m || line n and line p is a transversal, then find x.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर रेखाओं 'm' और 'n' को एक तिर्यक रेखा 'p' द्वारा काटते हुए दिखाता है। रेखा 'm' पर तिर्यक रेखा 'p' के साथ बना आंतरिक कोण '3x' है, और रेखा 'n' पर संबंधित आंतरिक कोण 'x' है। छात्रों को 'x' का मान ज्ञात करना है।
(A) 135°
(B) 90°
(C) 45°
(D) 40°
Answer: (C) 45°
Hint:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सहायक चित्र है जो रेखा 'm' और 'n' को एक तिर्यक रेखा 'l' द्वारा काटते हुए दिखाता है। रेखा 'a' पर एक कोण '4x' और रेखा 'b' पर एक कोण '2x' दर्शाया गया है। यह चित्र आंतरिक कोणों के संबंध को स्पष्ट करने के लिए उपयोग किया गया है।
line m || line n and line p is a transversal.
∴ m∠BFG + m∠FGD = 180°
...[Interior angles]
∴ 3x + x = 180°
∴ 4x = 180°
∴ x = \( \frac{180}{4} \)
∴ x = 45°
In simple words: The two angles, 3x and x, are interior angles on the same side of the transversal between parallel lines, so their sum is 180 degrees. Solving the equation 4x = 180 gives x = 45.

🎯 Exam Tip: Remember that interior angles on the same side of a transversal are supplementary. Clearly state the geometric property used for each step.

Question 1. Choose the correct alternative.
(ii) In the given figure, if line a || line b and line l is a transversal, then find x.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर रेखाओं 'a' और 'b' को एक तिर्यक रेखा 'l' द्वारा काटते हुए दिखाता है। रेखा 'a' पर तिर्यक रेखा के साथ बना कोण '3x' है, और रेखा 'b' पर तिर्यक रेखा के साथ बना कोण 'x' है। छात्रों को 'x' का मान ज्ञात करना है।
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°
Answer: (D) 30°
Hint:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सहायक चित्र है जो रेखा 'a' और 'b' को एक तिर्यक रेखा 'l' द्वारा काटते हुए दिखाता है। रेखा 'a' पर 'U' बिंदु पर कोण '4x' और रेखा 'b' पर 'V' बिंदु पर कोण '2x' दर्शाया गया है। यह चित्र वैकल्पिक आंतरिक कोणों और रैखिक युग्म के संबंध को स्पष्ट करने के लिए उपयोग किया गया है।
line a || line b and line l is a transversal.
∴ m∠UVS = m∠PUV
...[Alternate angles]
= 4x
m∠UVS + m∠WVS = 180°
... [Angles in a linear pair]
∴ 4x + 2x = 180°
∴ 6x = 180°
∴ x = \( \frac{180}{6} \)
∴ x = 30°
In simple words: The angles 3x and x are alternate interior angles if we consider extending the lines. Or, more directly, considering the hint, if the alternate angle to 4x is created at V (which is also 4x), then 4x and 2x form a linear pair. Their sum is 180 degrees, leading to x = 30.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to identifying the correct type of angle pair (alternate interior, corresponding, linear pair) to set up the equation correctly.

Question 2. In the given figure, line p || line q. Line t and line s are transversals. Find measure of ∠x and ∠y using the measures of angles given in the figure.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर रेखाओं 'p' और 'q' को दो तिर्यक रेखाओं 't' और 's' द्वारा काटते हुए दिखाता है। तिर्यक रेखा 't' के साथ रेखा 'p' पर 40° का कोण दिया गया है, और तिर्यक रेखा 's' के साथ रेखा 'q' पर 70° का कोण दिया गया है। छात्रों को ∠x और ∠y का मान ज्ञात करना है, जो कि तिर्यक रेखा 't' और 's' के साथ बने आंतरिक कोण हैं।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह समाधान चित्र है जिसमें पिछले प्रश्न के रेखा 'p' और 'q' तथा तिर्यक रेखा 't' और 's' को दिखाया गया है। इसमें एक नया कोण 'z' भी दर्शाया गया है जो तिर्यक रेखा 't' के साथ रेखा 'q' पर बना है, तथा एक कोण 'w' जो तिर्यक रेखा 's' के साथ रेखा 'p' पर बना है। ये कोण ∠x और ∠y के मान ज्ञात करने के लिए सहायक हैं।
i. Consider ∠z as shown in figure.
line p || line q and line t is a transversal.
∴ m∠z = 40° ...(i) [Corresponding angles]
m∠x + m∠z = 180° ... [Angles in a linear pair]
∴ m∠x + 40° = 180° ... [From(i)]
∴ m∠x = 180° - 40°
∴ m∠x = 140°
ii. Consider ∠w as shown in the figure.
m∠w + 70° = 180° ... [Angles in a linear pair]
∴ m∠w = 180° – 70°
∴ m∠w = 110° ...(ii)
line p || line q and line s is a transversal.
∴ m∠y = m∠w ...[Alternate angles]
∴ m∠y =110° ...[From (ii)]
∴ m∠x = 140°, m∠y = 110°
In simple words: For ∠x, find the corresponding angle ∠z to 40°, then use the linear pair property with ∠x and ∠z. For ∠y, find the linear pair ∠w with 70°, then use the alternate interior angle property with ∠y and ∠w.

🎯 Exam Tip: When multiple transversals are present, analyze each transversal with the parallel lines separately. Clearly label auxiliary angles like 'z' or 'w' if added for clarity.

Question 3. In the given figure, line p || line q, line l || line m. Find measures of ∠a, ∠b and ∠c, using the measures of given angles. Justify your answers.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो सेट समांतर रेखाओं को दर्शाता है: रेखा 'p' रेखा 'q' के समांतर है, और रेखा 'l' रेखा 'm' के समांतर है। एक प्रतिच्छेद बिंदु पर 80° का कोण दिया गया है, और छात्रों को कोण 'a', 'b' और 'c' का माप ज्ञात करना है, जो विभिन्न प्रतिच्छेद बिंदुओं पर स्थित हैं।
Answer:
i. line p || line q and line l is a transversal.
∴ m∠a + 80° = 180° ...[Interior angles]
∴ m∠a = 180° – 80°
∴ m∠a = 100°
ii. line l || line m and line p is a transversal.
∴ m∠c = 80° ...(i) [Exterior alternate angles]
iii. line p || line q and line m is a transversal.
∴ m∠b = m∠c ... [Corresponding angles]
m∠b = 80° ...[From (i)]
∴ m∠a = 100°, m∠b = 80°, m∠c = 80°
In simple words: First, use interior angles between parallel lines p and q with transversal l to find ∠a. Then, use exterior alternate angles between parallel lines l and m with transversal p to find ∠c. Finally, use corresponding angles between parallel lines p and q with transversal m to find ∠b from ∠c.

🎯 Exam Tip: Identify which pair of parallel lines and which transversal are relevant for finding each angle. Clearly state the reason (e.g., interior angles, alternate angles, corresponding angles) for each step.

Question 4. In the given figure, line a || line b, line l is a transversal. Find the measures of ∠x, ∠y, ∠z using the given information.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर रेखाओं 'a' और 'b' को एक तिर्यक रेखा 'l' द्वारा काटते हुए दिखाता है। रेखा 'a' पर तिर्यक रेखा के साथ एक कोण 105° दिया गया है। छात्रों को कोण 'x', 'y' और 'z' का माप ज्ञात करना है, जो विभिन्न प्रतिच्छेद बिंदुओं पर स्थित हैं।
Answer:
line a || line b and line l is a transversal.
∴ m∠x = 105° ...(i) [Corresponding angles]
ii. m∠y = m∠x ... [Vertically opposite angles]
∴ m∠y = 105° ...[From (i)]
iii. m∠z + 105° = 180° ... [Angles in a linear pair]
∴ m∠z = 180°-105°
∴ m∠z = 75°
∴ m∠x = 105°, m∠y = 105°, m∠z = 75°
In simple words: Angle x is a corresponding angle to 105 degrees. Angle y is vertically opposite to angle x. Angle z and 105 degrees form a linear pair. Use these properties to find their measures.

🎯 Exam Tip: Begin by identifying the easiest angles to find using direct properties like corresponding angles or linear pairs, then use those values to find others.

Question 5. In the given figure, line p || line l || line q. Find ∠x with the help of the measures given in the figure.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र तीन समांतर रेखाओं 'p', 'l' और 'q' को दर्शाता है। एक तिर्यक रेखा इन रेखाओं को काटती है। रेखा 'p' और 'l' के बीच एक कोण 40° है, और रेखा 'l' और 'q' के बीच एक कोण 30° है। छात्रों को इन दोनों कोणों के बीच बने कोण 'x' का मान ज्ञात करना है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह समाधान चित्र है जो तीन समांतर रेखाओं 'p', 'l', 'q' और एक तिर्यक रेखा को दर्शाता है। इसमें अतिरिक्त बिंदु 'H', 'I', 'J', 'N', 'K', 'M' और कोण 'x' को दो भागों में विभाजित करके दर्शाया गया है। कोण 'IJN' 40° है और कोण 'MJN' 30° है, जो कोण 'x' को बनाने वाले कोण हैं।
line p || line l and line IJ is a transversal.
m∠IJN = m∠JIH [Alternate angles]
∴ m∠IJN = 40° ...(i)
line l || line q and line MJ is a transversal.
m∠MJN = m∠JMK ... [Alternate angles]
∴ m∠MJN = 30° ...(ii)
Now, m∠x = m∠IJN + m∠MJN
...[Angle addition property]
= 40° + 30° ... [From (i) and (ii)]
∴ m∠x = 70°
In simple words: Since line l is parallel to both p and q, the angle x can be split into two parts. Each part forms an alternate interior angle with the given 40° and 30° angles respectively. The sum of these two alternate interior angles gives angle x.

🎯 Exam Tip: When three or more parallel lines are involved, consider each pair of parallel lines separately with the transversal. Break down complex angles into simpler parts if needed.

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 2 Parallel Lines And Transversals Practice Set 2.2 Intext Questions And Activities

Question 1. When two parallel lines are intersected by a transversal eight angles are formed. If the measure of one of these eight angles is given, can we find measures of remaining seven angles?
Answer: Yes, we can find the measures of the remaining angles.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर रेखाओं 'm' और 'n' को एक तिर्यक रेखा 'l' द्वारा काटते हुए दिखाता है। तिर्यक रेखा और समांतर रेखाओं के प्रतिच्छेद से बने आठ कोणों को a, b, c, d, e, f, g, h के रूप में लेबल किया गया है। यह चित्र विभिन्न कोण युग्मों (जैसे रैखिक युग्म, ऊर्ध्वाधर विपरीत, संगत, एकांतर) को समझने में मदद करता है।
In the given figure, line m || line n and line l is a transversal.
m∠a = 60°(say) ...(i)
i. m∠a + m∠b = 180° ...[Angles in a linear pair]
∴ 60° + m∠b = 180° ... [From (i)]
∴ m∠b = 180° – 60°
∴ m∠b = 120° ...(ii)
ii. m∠c = m∠b ...[Vertically opposite angles]
∴ m∠c = 120° ...(iii) [From (ii)]
iii. m∠d = m∠a ...[Vertically opposite angles]
∴ m∠d = 60° ...(iv) [From (i)]
iv. m∠e = m∠d ...[Alternate angles]
∴ m∠e = 60° ... [From (iv)]
v. m∠f = m∠c ...[Alternate angles]
∴ m∠f = 120° ... [From (iii)]
vi. m∠g = m∠d ...[Corresponding angles]
∴ m∠g = 60° ... [From (iv)]
vii. m∠h = m∠c ... [Corresponding angles]
∴ m∠h = 120° ...[From (iii)]
In simple words: Yes, if one angle is known, all other seven angles can be determined because of the fixed relationships (linear pairs, vertically opposite, corresponding, alternate interior/exterior) between angles formed by parallel lines and a transversal.

🎯 Exam Tip: Systematically list out all angle relationships (linear pairs, vertically opposite, corresponding, alternate) to derive the measures of unknown angles from a given one.

Question 2. As shown in the figure (A), draw two parallel lines and their transversal on a paper. Draw a copy of the figure on another blank sheet using a trace paper, as shown in the figure (B). Colour part I and part II with different colours. Cut out the two parts with a pair of scissors. Place, part I and part II on each angle in the figure A and answer the following questions.
1. Which angles coincide with part I?
2. Which angles coincide with part II?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): चित्र (A) दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा काटते हुए दिखाता है, जिससे आठ कोण (a, b, c, d, e, f, g, h) बनते हैं। चित्र (B) में तिर्यक रेखा के ऊपरी प्रतिच्छेद बिंदु के पास बने कोणों के दो हिस्से, 'I' और 'II' को अलग-अलग रंगों में रंगा गया है, ताकि छात्रों को यह समझने में मदद मिल सके कि ये हिस्से आकृति (A) के किन अन्य कोणों से मेल खाते हैं।
Answer:
1. ∠d, ∠f and ∠h coincide with part I.
2. ∠c, ∠e and ∠g coincide with part II.
In simple words: This activity helps visualize that corresponding angles, alternate angles, and vertically opposite angles are equal. Part I will match with all angles equal to angle 'a' (or its vertically opposite angle 'd'), and Part II will match with all angles equal to angle 'b' (or its vertically opposite angle 'c').

🎯 Exam Tip: Practical activities like this reinforce the understanding of angle relationships. Remember that corresponding angles, alternate interior angles, and vertically opposite angles are equal, while consecutive interior angles are supplementary.